[부스트코스트/인공지능을 위한 선형대수]4.고유값 분해 - 대각화

 

1. 대각행렬(Diagonal Matrix)

대각행렬이란 대각선 성분을 제외한 모든 값이 0인 정사각행렬을 말한다.

예를 들어 다음과 같은 형태가 대각행렬이다.

반면, 대각선 이외의 위치에 값이 존재하면 대각행렬이 아니다.

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2. 대각화(Diagonalization)란?

대각화란 주어진 정사각행렬 A 를 어떤 변환을 통해 대각행렬 D로 표현하는 것이다.

수식으로는 다음과 같이 정의된다.

또는 동치로,

여기서 중요한 점은 다음과 같다.

• V는 정사각행렬이어야 한다.
• V^(-1)가 존재해야 하므로, 가역행렬이어야 한다.
• 따라서 모든 행렬이 대각화 가능한 것은 아니다.

대각화가 가능한 행렬을 diagonalizable 하다고 한다.

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3. 행렬 V와 D의 의미

행렬 V를 열벡터 기준으로 보면 다음과 같다.

대각행렬 (D)는 다음과 같은 형태이다.

이때 식 (AV = VD)를 컬럼 단위로 해석하면,

• 좌변:

• 우변:

두 식이 같아야 하므로, 다음 관계가 성립한다.

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4. 대각화와 고유값·고유벡터의 관계

위 식은 우리가 이미 알고 있는 고유값 문제의 정의와 동일하다.

• v_i : 행렬 A의 고유벡터(Eigenvector)
• lambda_i : 해당 고유벡터에 대응하는 고유값(Eigenvalue)

즉,

• 행렬 V의 각 열벡터는 고유벡터
• 대각행렬 D의 대각 성분은 고유값

으로 구성된다.

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5. 대각화가 가능한 조건

n x n 행렬 A가 대각화 가능하기 위한 조건은 다음과 같다.

1. 행렬 V의 역행렬이 존재해야 한다
2. 이를 위해 V의 열벡터들, 즉 n개의 고유벡터가 서로 선형 독립(linearly independent) 이어야 한다. 

대각화 가능 여부는
“행렬의 차원만큼 선형 독립인 고유벡터를 찾을 수 있는가?”
라는 질문과 같다.

고유벡터의 개수가 부족하거나 선형 독립이 아니면, 해당 행렬은 대각화가 불가능하다.