[부스트코스트/인공지능을 위한 선형대수]4.고유값 분해 - 특성방정식

1. 고유값 λ=−3에 대한 고유벡터

고유벡터는 다음 방정식을 만족해야 한다.

λ  = -3을 대입하면,

이를 풀면 해는 다음과 같다.

> 따라서 λ = -3은 고유값이며, 이에 대응하는 고유공간(Eigenspace) 은

으로 표현되는 1차원 부분공간이다.

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2. 특성방정식(Characteristic Equation)

그렇다면 고유값은 어떻게 체계적으로 찾을 수 있을까?

고유값 λ는 다음 방정식이 비자명해(non-zero solution) 를 가질 때 존재한다.

(A−λI)x=0

이때 중요한 사실은 다음과 같다.

• 만약 (A - \lambda I)가 invertible 하다면
  → 해는 (x = 0) 하나뿐
• 고유벡터는 0이 아닌 벡터여야 하므로
  → invertible이면 안 된다

즉,

이 식을 특성방정식(Characteristic Equation) 이라고 부른다.

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3. 예제 행렬의 특성방정식

행렬 (A)에 대해 특성방정식을 세우면,

이를 정리하면,

이 이차방정식을 풀면, λ  = 8 또는 λ = -3

> 즉, 이 행렬의 고유값은 8과 −3 두 개이다.

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4. 고유공간(Eigenspace)의 의미

고유값 (\lambda)에 대응하는 고유공간은 다음과 같이 정의된다.

이는 다음과 동일하다.

즉,

고유공간은 행렬 ( A−λI )의 Null Space이다.

• 고유공간은 항상 부분공간
• 고유벡터는 이 공간에 속한 0이 아닌 벡터

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5. 고유공간의 차원과 기하적 의미

• 고유공간의 차원은 1 이상일 수 있다
• 하나의 고유값에 대해
  • 고유벡터가 한 방향만 존재하면 → 직선(1차원)
  • 여러 독립적인 방향이 존재하면 → 평면 또는 그 이상

이 차원을 기하적 중복도(Geometric Multiplicity) 라고 부른다.

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6. 고유공간에 속한 벡터들의 공통 성질

고유공간에 속한 모든 벡터 x는 동일한 성질을 가진다.

Ax=λx

즉,

• 행렬 A는 이 공간 전체에 대해
  방향은 유지한 채,  λ배로 스케일만 변화
• 회전이나 왜곡 없이 순수한 확대·축소(dilation) 만 수행

예를 들어 λ= 2라면, 고유공간 전체가 두 배로 늘어나는 변환이 된다.