단원 1. 벡터와 공간-벡터(3), -선형결합과 생성

이 글은 덕성여자대학교 인공지능 동아리 시냅스에서 진행한 선형대수학 스터디로, 칸 아카데미 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 강의는 아래 링크에서 확인 가능합니다!
https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces

Khan Academy

 

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벡터의 덧셈과 뺄셈(예제)

1.
벡터u=(12, 3)
벡터w=(-2, -5)
벡터w-벡터u=((-2)-12, (-5)-3)=(-14, -8)

2.
벡터u=(-4, -12)
벡터w=(-3, 5)
벡터u+벡터w=((-4)+(-3), (-12)+5)=(-7, -7)

3.
벡터u=(-6, -6)
벡터w=(-8, -7)
벡터u-벡터w=((-6)-(-8), (-6)-(-7)=(2, 1)

4.
벡터u=(-10, 12)
벡터w=(5, -10)
벡터w+벡터u=(5+(-10), (-10)+12)=(-5, 2)
보너스문제.
벡터u=(8, 6)
벡터w=(-9, 11)
벡터w+벡터u=((-9)+8, 11+6)=(-1, 17)

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벡터의 덧셈: 크기와 방향부터 성분까지(예제)

1.
벡터v의 크기는 6이고, 방향각은 160도 입니다.
벡터w의 크기는 4고, 방향각은 290도 입니다.
벡터v+벡터w의 성분형식을 구하세요.
=>
벡터v=(Vx, Vy)
벡터w=(Wx, Wy)라고 할 때,
벡터x+벡터y
=(Vx+Wx, Vy+Wy)
=(6cos160도+4cos290도, 6sin160도+4sin290도)
=>약(-5.64+1.37, 1.05+(-3.76))
=>약(-4.27, -1.71)

2.
벡터v와 벡터w의 크기와 방향각은 r은 크기고 q는 방향각인 (r, q)형식으로 아래에 주어졌습니다.
벡터v=(8, 20도)
벡터w=(5, 240도)
벡터v+벡터w의 성분형식을 구하세요.
=>
벡터v=(Vx, Vy)
벡터w=(Wx, Wy)라고 할 때,
Vx=8cos20도=>약7.52
Vy=8sin20도=>약 2.74
Wx=5cos240도=>약 -2.5
Wy=5sin240도=>약 -4.33
벡터x+벡터y
=(7.52+(-2.5), 2.74+(-4.33))
=>약(5.02, -1.59)

3.
벡터v와 벡터w는 아래와 같습니다.
벡터v+벡터w의 성분형식을 구하세요.
=>
벡터v=(Vx, Vy)
벡터w=(Wx, Wy)라고 할 때,
벡터x+벡터y
=(Vx+Wx, Vy+Wy)
=(7cos325도+8cos80도, 7sin325도+8sin80도)
=>약(5.73+1.39, (-4.02)+7.88)
=>약(7.12, 3.86)

4.
벡터v의 크기는 8이고, 방향각은 320도 입니다.
벡터w의 크기는 6이고, 방향각은 100도 입니다.
벡터v+벡터w의 성분형식을 구하세요
=>
벡터v=(Vx, Vy)
벡터w=(Wx, Wy)라고 할 때,
벡터x+벡터y
=(Vx+Wx, Vy+Wy)
=(8cos320도+6cos100도, 8sin320도+6sin100도)
=>약(6.13+(-1.04), (-5.14)+5.91)
=>약(5.09, 0.77)

 

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직선의 매개변수 표현

벡터v=[2, 1]이라고 할 때, 벡터v에 스칼라 값을 곱한 것의 집합을 S라 하자.
S는 동일선상에 존재하는 벡터의 집합.

벡터v를 위치벡터로 본다면 이 집합은 한 직선에 모두 표현됨.

벡터v에 임의의 벡터x를 더하거나 뺀 경우 이에 대한 집합 또한 아까 만든 직선과 평행한 직선이 나옴(그림에서는 임의의 벡터x를 [2, 4]로 설정)

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선형결합과 생성

선형결합(=일차결합)이란?
벡터공간 V에서 집합 S = {u1, ... , un}가 있을 때, v = a1u1 + ... + anun (ai ∈ R) 로 쓸 수 있다면, v를 S의 선형결합이라 한다.(숫자배 후 더하기)

이렇게 만들 수 있는 벡터를 모두 모은 집합은?

결론적으로 ℝ² 위의 모든 점을 a와 b의 선형 결합으로 얻을 수 있음. 이를 Span(a, b)=ℝ²라고 표현하는데, 이것은 ℝ² 상의 모든 벡터를 a와 b의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 뜻.

선형결합이 어떤 평면을 구성하는 모든 점을 가리킬 수 있다는 것은 결국 '기저'를 바탕으로 한 일반 좌표계를 형성할 수 있음을 뜻함
- 기저: 좌표계에서 각 좌표에 존재하는 그 좌표가 가리키는 방향으로의 단위벡터

기저벡터가 2개가 존재하고 그 앞에 어떤 상수를 붙이기만 하면 평면 상의 모든 점을 나타내는 벡터를 만들 수 있다. 이 때 두 기저벡터가 선형결합(linear combination) 되어 있는 것