단원 1. 벡터와 공간-선형종속과 독립

이 글은 덕성여자대학교 인공지능 동아리 시냅스에서 진행한 선형대수학 스터디로, 칸 아카데미 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 강의는 아래 링크에서 확인 가능합니다!
https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces

Khan Academy

 ㅅㅇ가 친절히 알려준 덕분에... 특수문자 구현이 가능해졌습니다! 와아ㅏㅏㅏ

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선형독립이란?

생성은 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있는 모든 벡터
{[2,3], [4,6]이 존재하고, 임의의 실수 $c_{1}$, $c_{2}$가 존재한다고 하자. 
이때, $c_{1}$*[2,3]+ $c_{2}$*[4,6] = $c_{1}$ *[2,3]+ 2$c_{2}$ *[2,3] =  ( $c_{1}$ + 2 $c_{2}$)*[2,3]  = $c_{3}$*[2,3]

벡터[2,3]과 벡터[4,6]의 집합의 생성은 사진과 같은 일직선임. 벡터가 두 개라도 동일선상에 있음.(상수배이기 때문)
=> $\mathbb{R}^{2}$의 두 벡터가 동일선상에 있을 때, 그들의 생성은 직선 하나로 표시
 
선형종속: 집합의 한 벡터를 집합의 다른 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있음
 
한 평면이 두 벡터로 정의되어 있다고 할 때, 세 번째 벡터는$\mathbb{R}^{3}$을 나타내기 위해서는 두 벡터와 동일평면상에 돈재할 수 없음(->만약 그럴 경우 더이상의 방향 추가가 불가해짐) -> 선형종속이 됨
 
두 벡터는 그들이 정의한 평면을 생성, 그들이 생성한 평면에서 어느 방향으로든 가는 무슨 벡터든지 그것을 생성
=> 두 벡터의 선형 결합으로 뭐든 벡터를 나타낼 수 있음(선형종속)
=> 세 번째 벡터는 만들어진 평면을 벗어나야 함, 벗어난 경우 아까 두 벡터 생성의 바깥에 있게 됨
 
벡터 $v_{1}$[2,3], 벡터 $v_{2}$[7,2], 벡터 $v_{3}$[9,5]가 있을 때 $v_{1}$+ $v_{2}$= $v_{3}$이므로
$v_{3}$는 다른 두 벡터의 선형결합이다. = 선형종속의 집합이다.
 

2차원상에서 벡터가 3개가 있다면 하나는 여분
ex1. 벡터 $v_{1}$[2,3], 벡터 $v_{2}$[7,2], 벡터 $v_{3}$[9,5]
ex2. 벡터 $v_{1}$[7,0], 벡터 $v_{2}$[0,-1]을 선형결합하기 위해서는 한 벡터를 다른 벡터로 상수배 했을 때 같아야 하지만, 이 경우 서로에 대한 선형결합으로 나타낼 방법이 없음. => 선형독립
ex3. 벡터 $v_{1}$[2,0,0], 벡터 $v_{2}$[0,1,0], 벡터 $v_{3}$[6,0,7]에서 0값으로 인해 선형독립.
=> 세 벡터가 한 평면에 있지 않기 때문에 이 세 벡터의 생성은 3차원
 

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선형독립 더 알아보기

벡터 집합 S에서 S={ $v_{1}$ , $v_{2}$, ..., $v_{n}$}라고 할 떄, 집합이 선형종속이라고 하자.
상수 $c_{1}$, $c_{2}$,..., $c_{n}$에 대한 집합이 존재한다. 이 상수들은 선형결합에 의해
iff(필요충분조건으로) $c_{1}$$v_{1}$+ $c_{2}$$v_{2}$+...+ $c_{n}$$v_{n}$=0=[0,...,0] (어떤 $c_{i}$가 모두 0이 아닐 때 = 적어도 하나는 0이 아닐 때)
$v_{1}$= $a_{2}$$v_{2}$+...+ $a_{n}$$v_{n}$
0= - $v_{1}$+$a_{2}$$v_{2}$+...+ $a_{n}$$v_{n}$
=> $v_{1}$+ $\frac{c_{2}}{c_{1}}$ $v_{2}$+...+ $\frac{c_{n}}{c_{n}}$ $v_{n}$=0
$v_{1}$=- $\frac{c_{2}}{c_{2}}$ $v_{2}$ +...+- $\frac{c_{n}}{c_{n}}$ $v_{n}$
 
ex1)
벡터 집합 {[2,1],[3,2]}가 있을 때, 임의의 상수 $c_{1}$, $c_{2}$에 대하여
$c_{1}$[2,1]+ $c_{2}$[3,2]=0을 만족하면 선형종속
if, $c_{1}$or $c_{2}$$\neq $0이면 => 벡터집합이 선형종속
if, 위 방정식을 유일하게 만족하는 유일한 방법이 $c_{1}$and$c_{2}$=0이면 => 벡터집합이 선형독립
2$c_{1}$+3 $c_{2}$=0,
$c_{1}$+2 $c_{2}$ =0
=> $c_{1}$=0,$c_{2}$=0이므로 선형독립 => 생성이 $R^{2}$
 
ex2)
벡터 집합 {[2,1],[3,2],[1,2]}가 있을 때, 임의의 상수 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{2}$에 대하여
$c_{1}$[2,1]+$c_{2}$[3,2]+ $c_{3}$[1,2] =[0,0]
2$c_{1}$+3 $c_{2}$ + $c_{3}$ =0,
$c_{1}$+2 $c_{2}$ +2$c_{3}$ =0
=> $c_{1}$=-4, $c_{2}$=3, $c_{3}$=-1이므로 벡터 집합이 선형종속
 

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선형생성과 선형독립 예제

벡터집합S={[1,-1,2],[2,1,3],[-1,0,2]}
$c_{1}$[1,-1,2]+ $c_{2}$[2,1,3]+ $c_{3}$[-1,0,2]=[a,b,c]
$c_{1}$+2 $c_{2}$- $c_{3}$=a,
-$c_{1}$+$c_{2}$=b,
2$c_{1}$+3 $c_{2}$+2$c_{3}$=c
=> $c_{1}$=a-2 $c_{2}$+ $c_{3}$, $c_{2}$= $\frac{1}{3}$(b+a+ $c_{3}$), $c_{3}$= $\frac{1}{11}$(3c-5a+b)
=> 임의의 실수가 a,b,c의 값이 될 수 있음
=> a,b,c의 값에 관계없이 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$을 구할 수 있음
 
if 이 벡터집합이 선형독립이라면 a=b=c=0이며 이에 따라 $c_{1}$=$c_{2}$=$c_{3}$=0
= 이 중 어떠한 벡터도 다른 두 벡터의 결합으로 표현될 수 없음
 
$R^{3}$을 생성하는 세 벡터가 있고 그 벡터들은 선형독립함
= 다른 두 벡터의 조합으로 표현되는 중복되는 벡터가 없음
 
$R^{3}$을 생성하는 세 벡터가 존재 = 그 벡터들은 선형독립