단원 1. 벡터와 공간-부분공간과 부분공간의 기저

이 글은 덕성여자대학교 인공지능 동아리 시냅스에서 진행한 선형대수학 스터디로, 칸 아카데미 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 강의는 아래 링크에서 확인 가능합니다!
https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces

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선형 부분공간

1) 벡터공간:  벡터를 다룰 수 있는 공간
- 덧셈에 대해 닫혀있다(임의의 $V_{1}$ , $V_{2}$ $\in V_{n}$, $V_{1}$+$V_{2}$$\in V_{n}$)
- 덧셈의 교환법칙(임의의 $V_{1}$, $V_{2}$$\in V_{n}$, $V_{1}$+$V_{2}$=$V_{2}$+$V_{1}$
- 덧셈의 결합법칙(임의의 $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$$\in V_{n}$, ($V_{1}$+$V_{2}$)+$V_{3}$=$V_{1}$+($V_{2}$+$V_{3}$)
- 덧셈의 항등원(임의의 $V_{1}$$\in V_{n}$, 어떤 e$\in V_{n}$ s.t. $V_{1}$+e=$V_{1}$, 이때 e를 o이라고 쓴다.)
- 덧셈의 역원(임의의 $V_{1}$$\in V_{n}$, 어떤 x$\in V_{n}$ s.t. $V_{1}$+x=o, 이때 x를 -$V_{1}$이라고 쓴다.)
- 스칼라 배에 대해 닫혀있다.
- 스칼라 배의 결합법칙
- 스칼라 배의 항등원
- 분배법칙
*'임의'와 '모든'은 동일한 의미를 가짐 <-> 어떤

2) 부분공간: 벡터공간 $V_{n}$의 부분집합 $W _{n}$이 벡터공간(=앞에 조건을 만족하면)이면 $W _{n}$을 $V_{n}$의 부분공간이라고 한다.
=> W _{n}$이 부분공간이려면, 덧셈과 스칼라 배에 대해 닫혀있기만 하면 된다.

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부분공간의 기저

기저: 좌표의 축 역할을 해주는 벡터를 모아놓은 벡터
1. 선형적으로 독립
2. span{B} =  $\mathbb{R}_{n}$

def. 기저의 정의
$\mathbb{R}_{n}$의 부분공간 V의 기저B는 아래 조건을 만족시키는 집합이다.
1) B의 모든 원소는 v에 속한다.
2) B는 선형독립이다.
3) span(B) = V이다.

def. 차원: 기저에 속한 벡터의 수 = B의 원소의 개수
V: 공간, V의 차원 = V의 기저 B의 원소의 개수